Teorema de Peano (Peano's Theorem)
Este juego está diseñado para profundizar el conocimiento adquirido en la prueba del Teorema de Peano
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Topics of this game:
- El Teorema de Peano afirma que:
- La única hipótesis del Teorema de Peano es
- La prueba del teorema de Peano se divide en tres pasos. El primero es:
- Para aproximar F_n por funciones C^{∞} se utilizan
- Seleccione la opción que NO corresponde a una propiedad de las bump functions ρ_n
- Los conjuntos U_n están formados por los puntos x tales que
- La sucesión de conjuntos U_n es
- La sucesión f_n se define como
- Las funciones f_n están bien definidas pues
- Si x está en U_n pero x+y no está en U entonces se debe satisfacer que
- La sucesión f_n converge uniformemente a f
- La sucesión f_n converge uniformemente a f en compactos
- Seleccione la afirmación que NO se utiliza en la prueba de convergencia uniforme en K
- La regla de Leibniz establece condiciones para
- f_n es C^{∞} pues
- Las funciones f_n no son diferenciables porque el dominio de integración es R^d
- Como las F_n que aproximan F son C^{∞} entonces
- Las soluciones γ_n de x'=F_n(t,x) están definidas en el mismo intervalo pues
- δ puede tomarse independiente de n pues:
- La sucesión M_n(δ) es acotada pues
- Las funciones γ_n son Lipschitz con constante Lipschitz independiente de n
- El teorema de Arselá-Ascoli asegura que si g_n es equicontinua y acotada entonces
- La sucesión γ_n es acotada
- Por el teorema de Arselá-Ascoli se tiene que
- La siguiente NO corresponde a una hipótesis del teorema de convergencia dominada
- El teorema de convergencia dominada garantiza que
- Utilizando el teorema de convergencia dominada se concluye que
- Cual de los siguientes teoremas no se usa en la prueba del teorema de Peano
- Con el teorema de Peano se obtiene unicidad de las soluciones de x'=F(t,x)
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